平均変化率の公式と求め方とは？微分係数・傾きとの決定的な違いを徹底解説

平均変化率の公式と求め方とは？微分係数・傾きとの決定的な違いを徹底解説に関する疑問を徹底的にまとめました。詳細な解説をチェックしましょう。

概念を定着させるために、頻出の平均変化率 計算問題を2つのパターンに分けて解法手順を確認します。特に平均変化率 2次関数に関する問題は、定期試験から大学入試基礎まで頻出です。

例題1：具体的な数値区間における平均変化率

【問題】 関数 $f(x) = x^2 - 3x$ において、$x$ が $1$ から $4$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

【解答手順】
1. $x$ の増加量を計算： $4 - 1 = 3$
2. $y$ の変化を計算：
$f(1) = 1^2 - 3(1) = -2$
$f(4) = 4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4$
$f(4) - f(1) = 4 - (-2) = 6$
3. 公式に当てはめて計算：
$$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$
【答え】 $2$

例題2：幅 $h$ を含む文字式の平均変化率

【問題】 関数 $f(x) = 2x^2 + 1$ において、$x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

【解答手順】
1. $f(a+h)$ と $f(a)$ をそれぞれ立式：
$f(a+h) = 2(a+h)^2 + 1 = 2(a^2 + 2ah + h^2) + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 + 1$
$f(a) = 2a^2 + 1$
2. 分子の差を計算して整理：
$f(a+h) - f(a) = (2a^2 + 4ah + 2h^2 + 1) - (2a^2 + 1) = 4ah + 2h^2$
3. 分母 $h$ で約分を実行：
$$\frac{4ah + 2h^2}{h} = \frac{h(4a + 2h)}{h} = 4a + 2h$$
【答え】 $4a + 2h$

※なお、この結果に対して極限 $\lim_{h \to 0}(4a+2h)$ を取ると $4a$ となり、これが $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ と一致することが確かめられます。